Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 4 & - 2 \\ - 5 & 0 & - 2 \end{array}]$

Paso 1

Find the determinant.

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Paso 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 0 & - 2 \end{array} |$

Paso 1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 0 & - 2 \end{array} |$

Paso 1.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Paso 1.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Paso 1.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 4 \\ - 5 & 0 \end{array} |$

Paso 1.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 4 \\ - 5 & 0 \end{array} |$

Paso 1.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 0 & - 2 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 4 \\ - 5 & 0 \end{array} |$

Paso 1.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} - 3 & 4 \\ - 5 & 0 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 0 & - 2 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 0$

Paso 1.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 0 & - 2 \end{array} |$ .

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Paso 1.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (4 \cdot - 2 + 0 \cdot - 2) - 2 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 0$

Paso 1.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.1.1

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$1 (- 8 + 0 \cdot - 2) - 2 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 0$

Paso 1.3.2.1.2

Multiplica $0$ por $- 2$ .

$1 (- 8 + 0) - 2 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 0$

Paso 1.3.2.2

Suma $- 8$ y $0$ .

$1 \cdot - 8 - 2 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 0$

Paso 1.4

Evalúa $| \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$ .

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Paso 1.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 8 - 2 (- 3 \cdot - 2 - (- 5 \cdot - 2)) + 0$

Paso 1.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$1 \cdot - 8 - 2 (6 - (- 5 \cdot - 2)) + 0$

Paso 1.4.2.1.2

Multiplica $- (- 5 \cdot - 2)$ .

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Paso 1.4.2.1.2.1

Multiplica $- 5$ por $- 2$ .

$1 \cdot - 8 - 2 (6 - 1 \cdot 10) + 0$

Paso 1.4.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$1 \cdot - 8 - 2 (6 - 10) + 0$

Paso 1.4.2.2

Resta $10$ de $6$ .

$1 \cdot - 8 - 2 \cdot - 4 + 0$

Paso 1.5

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$- 8 - 2 \cdot - 4 + 0$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$- 8 + 8 + 0$

Paso 1.5.2

Suma $- 8$ y $8$ .

$0 + 0$

Paso 1.5.3

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 2

There is no inverse because the determinant is $0$ .